GUI之基于Qt的插补算法演示

插补：机头走斜线或弧线时，需要 XY 同时到达某个点，就得需要 X 走一点 Y 走一点，这个算法过程就是插补

所有插补算法推演只在第一象限，软件点数据密化放大数据后，会与直线/圆弧重合

1、逐步对比法直线插补

前置知识：

F>=0  F=F-|Y|
F<0  F=F+|X|

$$ A(0,0) \ \ \ \ \ B(6,4) $$

一开始要求得终点步骤，根据X与Y值，可以看出最多需要移动6+4次到达终点，所以终点判断为10
偏差判别是当前位置处于大于等于0的区域还是小于等于0的区域，如果是处于大于等于0的区域，可以看出来，此时需要X增加一步，才能趋于终点，如果当前位置处于小于0的区域，此时需要Y增加一步，那么映射到现实中，就是机器XY轴各向前动了一个脉冲，最终不断的交替运动到达终点
坐标给进就是偏差判别后的进步标志位，决定当前步骤X或Y哪一个前进
偏差计算就是根据上面的公式，以及当前坐标所在位置，计算出下一步的XY坐标给进
首先当前坐标肯定位于起点A(0,0)，根据偏差判别，此时需要X进一步，则坐标给进+X，此时F>=0，偏差计算代入F>=0 F=F-|Y|，F减去终点坐标Y值，得到下一次的偏差，此时完成一步，终点判断减去1。下一次再根据偏差判别进行坐标给进与偏差计算，往复循环，直到终点判断为0，偏差计算的步数也来到了B(6,4)
根据坐标给进，依次按一格坐标移动XY，即可得到插补路径
如果坐标不在0点？在其他象限？把起点作为0点映射计算，然后再转换回去就行

步数	偏差判别	坐标给进	偏差计算	终点判断
0			F(0,0) = 0	E=6+4 =10
1	F(0,0)>=0	+X	F(1,0)= 0-4 = -4	E=9
2	F(1,0)<0	+Y	F(1,1)= -4+6 = 2	E=8
3	F(1,1)>=0	+X	F(2,1)= 2-4 = -2	E=7
4	F(2,1)<0	+Y	F(2,2)= -2+6 = 4	E=6
5	F(2,2)>=0	+X	F(3,2)= 4-4 = 0	E=5
6	F(3,2)>=0	+X	F(4,2)= 0-4 = -4	E=4
7	F(4,2)<0	+Y	F(4,3)= -4+6 = 2	E=3
8	F(4,3)>=0	+X	F(5,3)= 2-4 = -2	E=2
9	F(5,3)<0	+Y	F(5,4)= -2+6 = 4	E=1
10	F(5,4)>=0	+X	F(6,4)= 4-4 = 0	E=0

根据计算过程可以整理参考简单伪代码如下

comparedLine()
{
    int x,y,dx,dy,e,f;
    x = start.x();//起点坐标
    y = start.y();
    dx = abs(end.x() - start.x());//终点坐标减去起点坐标
    dy = abs(end.y() - start.y());
    e = dx + dy;//终点判断步数计算
    f = 0;
    
    draw(x, y);
    for(int i = 0; i < e; ++i) {
        if (f >= 0) {
                x++;
            f -= dy;
        } else {
                y++;
            f += dx;
        }
        draw(x, y);
    }
}

2、逐步对比法圆弧插补

前置知识：

$$ F>=0 \ \ \ \ \ \ F=F-2|Y|+1 \\F<0 \ \ \ \ \ \ F=F+2|X|+1 \\ 一象限顺时针，二象限逆，三象限顺，四象限逆 \\ \ \\F>=0 \ \ \ \ \ \ F=F-2|X|+1 \\F<0 \ \ \ \ \ \ F=F+2|Y|+1 \\一象限逆时针，二象限顺，三象限逆，四象限顺 \\公式中的XY为终点坐标XY $$

$$ A(0,5) \ \ \ \ \ B(5,0) $$

一开始要求得终点步骤，根据X与Y值，可以看出最多需要移动5+5次到达终点，所以终点判断为10
偏差判别是当前位置处于大于等于0的区域还是小于等于0的区域，如果是处于大于等于0的区域，可以看出来，此时需要Y减少一步，才能趋于终点，如果当前位置处于小于0的区域，此时需要X增加一步，那么映射到现实中，就是机器XY轴各向前动了一个脉冲，最终不断的交替运动到达终点
坐标给进就是偏差判别后的进步标志位，决定当前步骤X或Y哪一个前进
偏差计算就是根据上面的公式，以及当前坐标所在位置，计算出下一步的XY坐标给进
首先当前坐标肯定位于起点A(0,5)，根据偏差判别，此时需要Y退后一步，则坐标给进-Y，此时F>=0，显然这是个顺时针，偏差计算代入F>=0 F=F-2|Y|+1，得到下一次的偏差，此时完成一步，终点判断减去1。下一次再根据偏差判别进行坐标给进与偏差计算，往复循环，直到终点判断为0，偏差计算的步数也来到了B(5,0)
根据坐标给进，依次按一格坐标移动XY，即可得到插补路径

步数	偏差判别	坐标给进	偏差计算	坐标计算	终点判断
0			F(0,0) = 0	x=0,y=5	E=5+5 =10
1	F(0,0)>=0	-Y	F(1,0)= 0-2*5+1 = -9	x=0,y=4	E=9
2	F(1,0)<0	+X	F(1,1)= -9+2*0+1 = -8	x=1,y=4	E=8
3	F(1,1)<0	+X	F(2,1)= -8+2*1+1 = -5	x=2,y=4	E=7
4	F(2,1)<0	+X	F(2,2)= -5+2*2+1 = 0	x=3,y=4	E=6
5	F(2,2)>=0	-Y	F(3,2)= 0-2*4+1 = -7	x=3,y=3	E=5
6	F(3,2)<0	+X	F(4,2)= -7+6+1 = 0	x=4,y=3	E=4
7	F(4,2)>=0	-Y	F(4,3)= 0-6+1 = -5	x=4,y=2	E=3
8	F(4,3)<0	+X	F(5,3)= -5+8+1 = 4	x=5,y=2	E=2
9	F(5,3)>=0	-Y	F(5,4)= 4-4+1 = 1	x=5,y=1	E=1
10	F(5,4)>=0	-Y	F(6,4)= 1-2*1+1 = 0	x=5,y=0	E=0

根据计算过程可以整理参考简单伪代码如下

comparedLine()

    int e=0,f=0,x=0,y=0;

    e = max(abs(end.x()), abs(end.y())) + max(abs(start.x()), abs(start.y()));
    x = abs(start.x());
    y = abs(start.y());

    draw(x, y);
    for(int i =0; i<e ; i++){
        if(f>=0){
            f = f-2*y+1;
            y--;
        } else {
            f = f+2*x+1;
            x++;
        }
        draw(x, y);
    }
}

3、数字积分法直线插补

前置知识：

累加寄存器：数字积分法的操作就是将路程分割n份，每周期累加一份，如果溢出就进给。一般溢出值就是单位1
因为实际运用问题，机器在存储数据时是采用二进制的形式。为了节省空间和加快运算，Max是多少，就采用多少位的累加器运算。也就是2^n-1，能放得下即可。比如终点E(7,5)，Max为7，采用三位（最大可存8）累加器计算。所以分割份数m总是2的次方，而且列表时也不写十进制，而是写二进制。

$$ A(0,0) \ \ \ \ \ B(7,5) $$

- 此计算分为X积分器,Y积分器
- X积分器包括√vX、√rX、ΔX
- X积分器包括√vY、√rY、ΔY
- √vX保存终点的X坐标，√vY保存终点的Y坐标
- √rX为 √rX=√vX+√rX ,当√rX运算累计值大于累加器值，视为溢出，使用累加器值减去√rX再赋值给√rX，同时ΔX因为累加器溢出+1
- √rY为 √rY=√vY+√rY ,当√rY运算累计值大于累加器值，视为溢出，使用累加器值减去√rY再赋值给√rY，同时ΔY因为累加器溢出+1

一开始确定累加器，Max是多少，就采用多少位的累加器运算，比如终点B(7,5)，Max为7，采用三位（最大可存8）累加器计算，即2^3=8
在√vX保存终点的X坐标111（7），√vY保存终点的Y坐标101（5），其余都为0
然后开始计算，√rX与√rY固定不变，√rX=√vX+√rX，√rY=√vY+√rY，√rX或√rY如果任一超过累加器，视为溢出，使用累加器值减去√rX、√rY再赋值给√rX、√rY，同时ΔX、ΔY因为累加器溢出+1
往复循环，直到√rX与√rY都加上111减去累加器为0，当前位置也来到了B(7，5)

根据ΔX、ΔY的值变化，依次按一格坐标移动XY，即可得到插补路径

步数	√vX	√rX	ΔX	√vY	√rY	ΔY
0	111	0	0	101	0	0
1	111	111（111+0）	0	101	101	0
2	111	110（111+111）	1	101	010	1
3	111	101（111+110）	1	101	111	0
4	111	100（111+101）	1	101	100	1
5	111	011（111+100）	1	101	001	1
6	111	010（111+011）	1	101	110	0
7	111	001（111+010）	1	101	011	1
8	111	000（111+001）	1	101	000	1

根据计算过程可以整理参考简单伪代码如下

ddaLine()
{
  int vx, vy, rx=0, ry = 0;
  int dx=0, dy=0;
  float x, y = 0.0;

  x += start.x();
  y += start.y();

  dx = end.x() - start.x();
  dy = end.y() - start.y();

  vx = abs(end.x() - start.x());
  vy = abs(end.y() - start.y());
  rx += vx;
  ry += vy;

  int max_val = max(abs(vx), abs(vy));
  // 数控技术中，对于分割数m牵扯到 寄存器 的概念。
  // 也就是2^n-1，能放得下即可 比如终点(7,5)，max为7，采用三位8累加器计算。
  int acc = 1;
  while (acc < max_val) {
      acc <<= 1; // 左移一位，相当于乘以2
  }

  draw(x, y);

  for (int i = 0; i < acc; i++) {
      rx += vx;
      ry += vy;

      if (rx >= acc) {
          x++;
          rx -= acc;
      }
      if (ry >= acc) {
          y--;
          ry -= acc;
      }
      draw(x, y);
  }
}

4、数字积分法圆弧插补

前置知识：

累加寄存器：数字积分法的操作就是将路程分割n份，每周期累加一份，如果溢出就进给。一般溢出值就是单位1

因为实际运用问题，机器在存储数据时是采用二进制的形式。为了节省空间和加快运算，Max是多少，就采用多少位的累加器运算。也就是2^n-1，能放得下即可。比如终点E(7,5)，Max为7，采用三位（最大可存8）累加器计算。所以分割份数m总是2的次方，而且列表时也不写十进制，而是写二进制。

$$
A(5,0) \ \ \ \ \ B(0,5)
$$

此计算分为X积分器,Y积分器
X积分器包括√vX、√rX、ΔX
X积分器包括√vY、√rY、ΔY
√vX保存起点的Y坐标，√vY保存起点的X坐标，注意这里与直线插补是反的
√rX为 √rX=√vX+√rX ,当√rX运算累计值大于累加器值，视为溢出，使用累加器值减去√rX再赋值给√rX，
   同时ΔX因为累加器溢出+1，此时另外一边的√vY+1
√rY为 √rY=√vY+√rY ,当√rY运算累计值大于累加器值，视为溢出，使用累加器值减去√rY再赋值给√rY，
   同时ΔY因为累加器溢出+1，此时另外一边的√vX+1
Ex与Ey为步数

一开始确定累加器，Max是多少，就采用多少位的累加器运算，比如终点B(0,5)，Max为5，采用三位（最大可存8）累加器计算，即2^3=8
在√vX保存起点的Y坐标0，√vY保存起点的X坐标101（5），Ex与Ey为步数5
然后开始计算，√rX=√vX+√rX，√rY=√vY+√rY，√rX或√rY如果任一超过累加器，视为溢出，使用累加器值减去√rX、√rY再赋值给√rX、√rY，同时ΔX因溢出-1时√vY-1，ΔY因溢出+1时√vX+1
往复循环，直到Ex与Ey都为0，当前位置也来到了B(0，5)

根据√rX、√rY的值变化，依次按一格坐标移动XY，即可得到插补路径

步数	√vX	√rX	ΔX	Ex	√vY	√rY	ΔY	Ey
0	000	000	0	101	101	0	0	101
1	000	000	0	101	101	101	0	101
2	000	000	0	101	101	010	1	100
	001(Ey)
3	001	001	0	101	101	111	0	100
4	001	010	0	101	101	100	1	011
	010(Ey)
5	010	100	0	101	101	001	1	010
	011(Ey)
6	011	111	0	101	101	110	0	010
7	011	010	-1	100	101	011	1	001
	100(Ey)				100(Ex)
8	100	110	0	100	100	111	0	001
9	100	010	-1	100	100	011	1	000
	101(Ey)				011(Ex)
10	101	111	0	011	011
11	101	100	-1	010	011
					010(Ex)
12	101	001	-1	001	010
13	101	110	0	001	001
14	101	011	-1	000	000

根据计算过程可以整理参考简单伪代码如下

ddaCircle()
{
  int vx=0, vy=0, rx=0, ry=0, ex=0, ey = 0;

  vx = std::abs(end.x() - start.x());
  vy = std::abs(end.y() - start.y());

  int max_val = max(abs(vx), abs(vy));
  int acc = 1;
  while (acc < max_val) {
      acc <<= 1;
  }

  vx = start.y();
  vy = start.x();

  ex = std::abs(end.x()-start.x());
  ey = std::abs(end.y()-start.y());

  draw(x, y);
  for (int i =0; i<acc ; i++ ) {
      if(ex){
          rx += vx;
      }
     if(ey){
        ry += vy;
     }

     if(rx>acc){
         ex--;
         rx -= acc;
         vy--;
     }
     if(ry>acc){
         ey--;
         ry -= acc;
         vx++;
     }
      if(vy < start.y()){
          continue;
      }
     draw(x, y);
  }
}

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